第九便利

电容乘法器：用运放把 1µF 变成 1mF 的"诅咒"电路

在电子工程的世界里，有些电路看起来像 bug，用起来却是 feature。今天要分析的"电容乘法器"（capacitance multiplier）就是这样一个神奇的存在——用一枚运放（op-amp）加两个电阻，就能把一枚便宜的 1µF 陶瓷电容，等效成 1mF 的庞然大物。

理想运放只做一件事：计算 V_in- 和 V_in+ 之间的电压差，乘以巨大增益（A_OL 通常 100 万以上），然后输出。V_in- < V_in+ 时输出摆向正电源，反之摆向负电源。中间电压只出现在微伏级的线性区。

最简单的运放电路——电压跟随器（voltage follower）：输出反馈到 V_in-，使输出电压跟随 V_in+ 的输入信号。

还需要两点电子学基础：欧姆定律（Ohm's law）I = V / R；电容充电时，电荷积累产生的反电动势逐渐匹配外部电压。电容越大，相同电压下能储存的电荷越多。

这个电路第一眼看起来难以理解。分解为两个模块来看：

运放配置为电压跟随器，从 B 部分取电压并在输出端镜像。

电容通过电阻充电。虽然 V_cap 随时间变化，我们用"冻结帧"（frozen frame）来分析：跟随器正在镜像电容的当前充电状态；R₂ 右端的电压几乎等于 V_cap。

分析 R₁：由欧姆定律，通过 R₁ 的电流只取决于电阻值和两端电压。R₁ 上端在 V_signal，下端在 V_cap。

I(R1) = (Vsignal - Vcap) / R1

分析 R₂：左端在 V_signal，右端通过跟随器作用在 V_cap。

I(R2) = (Vsignal - Vcap) / R2

本质上是两个并联电阻在输入和 V_cap 之间。总输入电流：

I_total = I(R1) + I(R2)
        = (Vsignal - Vcap) * (1/R1 + 1/R2)

关键比值 n：

n = I_total / I(R1)
  = (1/R1 + 1/R2) / (1/R1)
  = 1 + R1/R2

这意味着电容充电速度慢了 n 倍——等效于将电容放大了 n 倍（n · C）通过 R₁ 和 R₂ 的并联电阻充电。

用一个运放加两个电阻，就能把便宜的 1µF 电容变成等效的 1mF！虽然不能储存更多能量（不能当备用电源），但在信号滤波、定时电路中非常巧妙。

交换 C 和 R₁ 位置的变体电路会有什么行为？

提示：电容充电需要两个端子都有电荷流动。如果输入电压跃升至 5V 而电容初始为 0，R₁ 阻碍充电，V_in+ 看到 5V - 0V = 5V。随着电荷流过 R₁，V_cap 趋近 5V，V_in+ 趋近 0V。